Разработка новых приближенных гидродинамических моделей
для задач волновой гидродинамики

На основе подхода, предложенного для плоских течений в работах Грина–Нагди и др. и заключающегося в представлении решения по вертикальной координате в виде полинома, выведены нелинейно-дисперсионные уравнения на вращающейся притягивающей сфере. Для проверки правильности вывода этих сложных по структуре уравнений выполнен повторный вывод на основе теории Л.В. Овсянникова, подразумевающей разложение решения в ряд по малому параметру. Выполнено аналитическое исследование решений нелинейных уравнений мелкой воды в окрестности границы «вода-суша» не только для плоского откоса, но и для произвольного рельефа дна и прилегающей суши.

Рассмотрены три различных режима взаимодействия волны с берегом:
* накат необрушенной волны в общем случае,
* накат необрушенной волны в частном случае совпадения в начальный момент времени касательных в точке уреза к свободной границеи рельефу дна,
* накат с обрушением.

Решения поставленных начально-краевых задач построены в виде локально сходящихся рядов. Получен закон движения точки уреза и найдены условия и моменты времени, когда один режим течения переходит в другой. Этот результат является совершенно новым и легко адаптируется для численных расчетов. Результаты аналитического исследования использованы для разработки новых аппроксимаций краевых условий на подвижной линии уреза. На некоторых тестовых задачах получено полное совпадение численного решения (с точностью до ошибок округления) с аналитическим по положению точки уреза и ее скорости. Полученный результат является следствием того обстоятельства, что в численной схеме в окрестности точки уреза используются точные локальные аналитические решения уравнений мелкой воды (к.ф.-м.н. З.И. Федотова, д.ф.-м.н. Г.С. Хакимзянов).

Fedotova Z.I., Khakimzyanov G.S. Nonlinear-dispersive shallow water equations on a rotating sphere // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. VNU Science Press BV, 2010, Vol. 25, No. 1. P. 15–26.